Probabilités appliquées au bridge – Exemples quand on traite 2 ou 3 évènements concomitants

Exemple 1

V7
964
A73
AR652
A6
ADV
R9742
D74

Contrat par Sud : 3SA
Entame : 6 de , pour le Valet du mort, la Dame en Est et l’As en Sud

Analyse : Cette donne est très proche de celle analysée au chapitre 4, exercice 1 : même contrat, même 1ère levée.
On a les mêmes levées de tête (1 , 1 , 2 , 3 ) sauf que cette fois-ci on a 2 couleurs qui chacune permettrait de gagner : l’impasse gagnante à , suffit pour apporter les 2 levées manquantes, de même que la répartition 3-2 des le permet aussi.

Quelle est la probabilité de réussite du contrat ?

On a 2 évènements : PA correspondant à la probabilité de la répartition 3-2 des (68%) et PB correspondant à la probabilité de l’impasse (50%).
Comme on a le choix on est dans la configuration PA OU PB, soit 68 + (100-68)x50 = 68 + 16 = 84%.

Bien entendu on commence par tester les avant de tenter l’impasse qui, si elle rate, fait chuter le contrat.


Exemple 2

63
7
8754
RD8632
AR4
A10962
AR2
A5

Contrat par Sud : 3SA
Entame : Valet de pris en Sud par le Roi

Faites très attention à l’analyse de cette donne
On a 8 levées de tête (2 , 1 , 2 , 3 ).
Levées éventuelles : 3 levées si les sont 3-2, ou 1 levées si les sont 3-3.
Tout cela semble satisfaisant car on peut encore rendre la main une fois sans risque. Le risque aurait été différent si l’entame avait été à .

Quelle est la probabilité de réussite du contrat ?

Comme on a le choix entre 2 évènements c’est PA OU PB qu’on utilise.
Probabilité pour que les soit 3-2 (PA) : 68%
Probabilité (PB) pour les 3-3 : 36%
Soit une probabilité totale : 68 + (100-68)x36 = 80% [On peut faire l’opération en inversant l’ordre : 36 + (100-36)x68 = 80%. Donc PA OU PB = PB OU PA]

Attention : L’ordre dans lequel il faut jouer les couleurs est très important : En effet si on teste les en premier et si leur répartition est défavorable on ne pourra plus remonter au mort pour encaisser le 4ème si les sont3-3 ! Cela veut dire qu’il faut d’abord donner un coup en blanc à en jouant le 2 vers le mort.
En jouant ainsi on conserve la probabilité de 80% sans nuire à la possibilité de faire quand même 11 levées si les viennent bien, et même 12 levées si en plus les sont 3-3 !

J’espère qu’avec cet exemple vous comprenez l’importance d’analyser les donnes sous l’angle des probabilités pour choisir la meilleure option.

Exemple 3

V654
RV
105
AD743
A109
D65
AV43
R62

Contrat par Sud : 3SA
Entame : 4 de pris du Roi au mort.
Analyse : Avec la levée d’entame on a 6 levée de tête. (1 , 1 , 1 , 3 ).
Levées éventuelles : 1 levée à quand l’adversaire aura joué l’As. Les peuvent créer 2 levées avec une répartition 3-2.
Les peuvent aussi créer 2 levées si le Roi ou la Dame sont singleton en Est, ou RD, RDx, RDxx, RDxxx, RDxxxx, Rx, Dx, Rxx, Dxx, sont en Est.

Quelles sont les probabilités ?

Pour les 3-2 : 68%
Pour les : 60% (distributions gagnantes en Est : R, D, RD, RDx, RDxx, RDxxx, RDxxxx, Rx, Dx, Rxx, Dxx)

Comme on a le choix entre 2 évènements c’est PA OU PB qu’on utilise, avec PA = 68% et PB : 60%
Soit une probabilité totale : 68 + (100-68)x60 = 87%

Cela dit on ne peut pas sérieusement calculer à la table le pourcentage lié aux . Cependant on peut se rendre compte que les peuvent améliorer le pourcentage lié aux , grâce au « OU« .
Comme cette forme de donne n’est pas exceptionnelle on peut aussi se rappeler qu’on gagne 2 levées dans 60% des cas.

Attention : Comme dans l’exemple précédent il faut commencer par faire la double impasse pour conserver la remontée au mort à . Si au lieu de cela on pense qu’en jouant l’As de d’abord on pourra quand même faire 2 levées de plus on se trompe. En effet si les adversaires jouent correctement en renvoyant à chaque fois qu’ils prennent la main, ils couperont la communication avec le mort. Dans ce cas la seule solution qui resterait reposerait uniquement sur la répartition des . La probabilité tomberait alors de 87% à 68% !

Exemple 4

85
873
AD872
V94
ARD3
A64
R6
A1094

Contrat par Sud : 3SA
Entame : Dame de , petit du mort, petit en Est. Ouest continue petit pour le Roi en Est. Est continue pour l’As en Sud et le 10 en Ouest.
Analyse : On a 8 levées de tête avec une chance de levée à ou à . On peut rendre la main 2 fois.

Au premier coup d’œil on voit que si les sont répartis 3-3 on gagne, soit une probabilité de 36%. Cependant si les ne sont pas 3-3, on ne pourra plus remonter au mort. Dans ce cas il faudra aussi trouver 1 levée supplémentaire à . Ce serait possible si Est a RD(x,xx,xxx), ou s’il a le Roi ou la Dame singleton ou doubleton ET le reste des .
Probabilités de ce scénario :
Pour les 3-3 = 36% (PA)
Pour les en Est : (PB)
R ou D singleton : 2×1,21 = 2,42%
RD = 1×1,61 = 1,61%
Rx ou Dx = 10×1,61 = 16,10%
RDxx = 6×1,61 = 9,66%
RDxxx = 4×1,21 = 4,84%
Soit au total pour les : 35%

Au total la probabilité de ce scénario est : PA OU PB, donc 36 + (100-36)x35 = 58%

Que dire des ? Si Est a au moins l’un des 2 honneurs manquants on pourrait aussi faire 3 levées à ! Pour cela il faudrait faire l’impasse 2 fois, donc remonter au mort 2 fois, ce qui n’est possible qu’en couvrant le Roi de de l’As . Dans ce cas on ferait 3 , 1 , 2 et 3 , soit 9 levées.
Dans ce cas quelle est la probabilité de réussite si on joue sur les ?

Seule compte la répartition des en Est.
– R ou D singleton : 2×1,21 = 2,42%
– RD doubleton = 1×1,61 = 1,61%
– Rx ou Dx = 16×1,61 = 25,76%
– Rxx ou Dxx = 20×1,78 = 35,6%
– Rxxx ou Dxxx= 10×1,61 = 10,61%
Total : 76%

On constate que jouer sur les est beaucoup plus sûr que jouer sur la répartition 3-3 des .

Commentaire : Comme le calcul pour les est compliqué et impossible à faire à la table on peut quand même se souvenir que la disposition V8X en face de A109x permet de faire 3 levées dans environ 75% des cas. Je vous suggère de noter cette disposition des cartes dans un mémo ainsi que la probabilité pour 3 levées, comme je l’ai déjà suggéré pour d’autres main typiques.

Exemple 5

D1043
974
103
AV82
ARV95
6
ARV9
R105

Contrat par Sud : 6
Entame : Dame de qui fait la levée. Ouest continue coupé en Sud.
Analyse : On a 9 levées de tête et 1 coupe. (5 , 1 coupe à , 2 , 2 ). Manque 2 levées. On ne peut plus rendre la main.
Comment trouver les levées qui manques ? Le raisonnement n’est pas très facile. Il faut se demander si on peut éviter de faire l’impasse à ou à de suite. La réponse est oui.
En effet, On peut voir que si la Dame de ou la Dame de est sèche ou seconde, on gagne sans faire d’impasse.
La probabilité d’avoir un doubleton est plus grande avec 6 cartes qu’avec 7. (5-2 = 30,52%, mais 4-2 = 48,45%).
On commence donc par jouer As et Roi de . Si la Dame ne tombe pas on fait l’impasse .
Globalement cela donne une probabilité de : Dame singleton ou doubleton : 19%, impasse : 50%
On est dans le cas PA OU PB, donc 19 + (100-19)x50 = 59%

Notez que si on commence par AR de on obtient : 10 + (100-10)x51 = 56%, soit un peu moins que si on commence par AR de .
(Dame sèche ou doubleton à = 10%, impasse en jouant d’abord l’As ou le Roi selon le côté choisi = 51%)

Commentaire : La seule difficulté de cette donne réside dans le fait de ne pas se précipiter sur les impasses comme la grande majorité des joueurs va le faire.

Exemple 6

V5
A6
972
A76532
A86
R84
AD1085
RD

Contrat par Sud : 3SA
Entame : Valet de . Comme les communications avec le mort sont limitées on prend en Sud du Roi.
Analyse : On a 7 levées de tête (1 , 2 , 1 , 3 )
2 lignes de jeu sont envisageables
1) On compte sur la répartition 3-2 des . On débloque RD et on joue petit vers le 9 du mort. L’adversaire va probablement continuer . On prend de l’As et on joue l’As de . Si les restants tombent le coup est fini. S’ils ne tombent pas alors on fait l’impasse contre l’honneur restant.
2) On peut aussi considérer que si les sont 3-2 il suffit de donner un pour en faire 5 au total (On joue le Roi et ensuite la Dame qu’on couvre de l’As pour enfin donner le dernier ; l’As de permettant une remontée au mort pour faire les affranchis).
Dans cette hypothèse on fait sans risque supplémentaire : 5 , 1 , 2 et 1 .
Si les sont 4-1 ou 5-0 on fait l’impasse avec le 7 qu’on laisse filer s’il n’est pas couvert par Est. On pourra ensuite refaire l’impasse contre Est pour l’honneur restant.

Cela dit, quelle ligne choisir ?

1) : PA ( 3-2, 68 %) OU PB (Impasse 50%), soit 68 + (100-68)x50 = 84%
2) : PA ( 3-2, 68 %) OU PB (1 ou 2 honneurs en Est 76%), soit 68 + (100-68)x76 = 92%

La meilleure ligne de jeu est la 2.

Exemple 7

A87
D64
V52
A853
R5
AV5
AD10964
RD

Contrat par Sud : 6SA
Entame : Valet de
Analyse : Au premier coup d’œil on voit qu’on gagne si le Roi de est bien placé. Probabilité 50%.
En plus on peut aussi gagner si les sont 2-2 et le Roi de bien placé.
Probabilités de cette ligne de jeu :
– Impasse : 50% (PA)
– Répartition 2-2 des : 41% (PB)
– Impasse : 50% (PC)
PB et PC doivent être réussis tous les 2 donc PB ET PC, soit 41% x 50% = 21%
Si PA réussit on n’a pas besoin de (PB ET PC), donc on a PA OU (PB ET PC), soit 50 + (100-50)x21 = 60%

On peut aussi voir les choses autrement !

On prend l’entame de l’As au mort et on fait l’impasse (4 vers le Valet)
1) L’impasse rate : on a 2 Entrées au mort pour faire 2 fois l’impasse .
2) L’impasse réussit, le Valet restant maître : On joue la Dame de , pour créer une remontée au mort avec le Valet de .
– Si la Dame est prise, quand on se retrouve en main, on débloque RD de et on remonte au mort avec le Valet de pour faire l’As de . Le coup est gagné.
– Si la Dame de n’est pas prise on débloque RD de et on continue avec le 10 de . On se crée ainsi une remontée par le Valet de pour jouer l’As de , défausser 1 , et revenir en Sud avec l’As de pour jouer les maîtres.

Cas particuliers :
– Ouest est chicane : On remonte au mort avec l’As de on fait l’impasse au Roi de contre Est. On fait 12 levées sans perdre 1 .
– Est est chicane : On débloque RD de , et on joue vers le Valet du mort. Si Est prend le coup est terminé, s’il ne prend pas on joue l’As de pour défausser 1 et on joue le 10 de , le coup est terminé.

Quelles sont les probabilités de cette ligne de jeu :
Impasse qui rate ET impasse qui réussit : 50%x50%= 25% (PA)
Impasse qui réussit : 50% (PB)
Probabilité combinée : (PA) + (PB) = 50 + 25 = 75%

On voit que c’est la 2ème ligne de jeu qui est la meilleure !

Remarque : Je n’ai pas pris en compte une main d’Ouest qui aurait le Roi 4ème à et au moins 4 . Cela impacterait la probabilité de 1 point, donc 74%.

Exemple 8

Dans cet exemple on va voir qu’on a le choix entre faire une impasse de suite à l’atout au risque d’en perdre 2 ou de faire l’impasse d’abord. Si cette dernière réussit alors on peut jouer les atouts plus surement.

865
975
AR76
A72
AD7432
AD
84
983

Contrat par Sud : 4
Entame : Valet de
Analyse : Il y a 2 à perdre, peut-être 1 et 1 sauf si Est a le Roi second. Ce qu’il faut de toute façon c’est d’éviter de perdre 2 atouts !

Jusqu’à maintenant j’ai évalué les chances de réussite uniquement à partir du tableau des probabilités à priori. On peut aussi les évaluer en comparant les combinaisons gagnantes et perdantes. C’est quelques fois beaucoup plus simple. Je vous montre les deux approches.

Analyse des , qui est notre couleur critique
Au total on a 16 combinaisons possibles pour répartir les cartes manquantes (RV109) :

On n’est intéressé que par les cas où l’on peut perdre 2 levées (Si on perd 3 levées le contrat perd toujours, et si on n’en perd qu’une il gagne toujours)

combi.%perdantes
RV10916%-2
Rxxx320%-1
Rxxx320%-2
RV10916%-3
RV10916%-2
xRxx320%-1
xxRx320%0
V109R16%-1
combi = nombre de combinaisons, perdantes = nombre de perdantes

1er cas) On fait l’impasse d’abord :
On perd 2 levées dans 35% des cas. Si elle réussit on n’a plus besoin de l’impasse .
Si elle rate, 65% des cas, il faut faire l’impasse .

2ème cas) On fait l’impasse d’abord :
Si elle gagne on doit jouer la sécurité, c’est à dire tirer l’As de et petit vers la Dame. On ne perd 2 levées à que dans 29% des cas (au lieu de 35% si tente d’abord l’impasse ).

Conclusion : il faut commencer par l’impasse .

Remarque : Si pour une raison ou une autre on veut gagner une levée supplémentaire il faut impérativement que l’impasse ET faire l’impasse pour prendre un éventuel Roi second en Est. Probabilité : 10%.

Ce calcul en pourcentage est évidemment difficile à faire à la table. Cette exemple est donné pour vous inciter à examiner les couleurs à tester sans se précipiter dès le premier coup d’oeil sur la couleur la plus « séduisante » !

Je vous montre maintenant comment on peut raisonner à partir des « combinaisons » :

Si on fait l’impasse d’abord on a 6 combinaisons perdantes.
Si on fait l’impasse d’abord et qu’ensuite on joue la sécurité pour les on n’a que 5 perdantes.
Donc à l’évidence c’est l’impasse qu’il faut faire en premier.

On pourrait aussi penser qu’en jouant l’As de d’abord, avant l’impasse , on obtient le même résultat. Ce n’est pas juste car si le Roi ne tombe pas sous l’As il faudra impérativement que l’impasse réussisse !
Si on commence par l’impasse et qu’elle rate alors il faut faire l’impasse en espérant le Roi second en Est.

CONCLUSION : Raisonnez à partir des combinaisons dès que vous le pouvez, c’est plus facile qu’à partir des pourcentages. Vous en saurez plus dans un prochain chapitre, avec des exemples.

Pour en savoir plus …

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