Probabilités appliquées au bridge – Introduction

Un tout petit peu de math.

Une probabilité s’exprime par un nombre de 0 à 1. Au bridge il n’y a pas de probabilité nulle. 1 indique une certitude.
Dans le langage courant on utilise des pourcentages quand on parle des probabilités : « On a 36% de réussir le contrat ».

Une notion essentielle

De façon générale quand on vous parle de probabilités au bridge on ne parle que de probabilités « a priori », c’est à dire celles qu’on évalue AVANT qu’aucune carte n’ait été jouée, ou, si des cartes on été jouées, hors du contexte. Cependant les probabilités changent dès que des cartes sont jouées. Elles peuvent d’ailleurs changer radicalement en cours de route. on parle alors de probabilités « a posteriori ».

Dans cet article je ne parle que de probabilités « a priori« . C’est d’ailleurs ce que le tableau ci-dessous décrit.

On est principalement concerné par 3 cas

Cas 1, on n’a qu’un seul évènement (a) à évaluer :
Par exemple, à Pique, on a 742 et en face AR65. On veut savoir quelle est la probabilité que les cartes manquantes soient réparties 3-3 chez les adversaires.

Cas 2, on a 2 évènements (a ou b) à évaluer en sachant que si l’un des 2 est satisfait on gagne :
Par exemple, on a à Trèfle 642 et en face AR53, et on a à Cœur 652 et en face AV743.
On gagne soit si les Trèfles sont répartis 3-3 OU si les Cœurs sont répartis 3-2, l’une des 2 conditions suffit.

Cas 3, on a 2 évènements (a et b) à évaluer mais il faut que les 2 soient satisfaits pour gagner.
Avec les mêmes couleurs que pour le cas 2, il faut que les Trèfles soient 3-3 ET que les Cœurs soient 5-2.

Pour nos calculs on utilise le tableau ci-dessous

ManqueRépartitionProbabilitéCombinaisons% par combi
21-1
2-0 / 0-2
52,00
48,00
2
2 (1-1)
26,00
24,00
32-1 / 1-2
3-0 / 0-3
78,00
22,00
6 (3+3)
2 (1+1)
13,00
11,00
42-2
3-1 / 1-3
4-0 / 0-4
40,70
49,74
9,56
6
8 (4+4)
2 (1+1)
6,78
6,22
4,78
53-2 / 2-3
4-1 / 1-4
5-0 / 0-5
67,83
28,26
3,91
20 (10+10)
10 (5+5)
2 (1+1)
3,39
2,83
1,96
63-3
4-2 / 2-4
5-1 / 1-5
6-0 / 0-6
35,53
48,45
14,53
1,49
20
30 (15+15)
12 (6+6)
2 (1+1)
1,78
1,61
1,21

0,75
74-3 / 3-4
5-2 / 2+5
6-1 / 1-6
7-0 / 0-7
62,18
30,52
6,78
0,42
70 (35+35)
42 (21+21)
14 (7+7)
2 (1+1)
0,89
0,73
0,48
0,26
84-4
5-3 / 3-5
6-2 / 2-6
7-1 / 1-7
8-0 / 0-8
32,72
47,12
17,14
2,86
0,16
70
112 (56+56)
56 (28+28)
16 (8+8)
2 (1+1)
0,47
0,42
0,31
0,18
0,08

Tableau des probabilités « a priori »

Comment lit-on ce tableau ?

Colonne « Manque » : indique ligne par ligne le nombre de cartes qui manquent
Colonne « Répartition » : comment les cartes manquantes peuvent être réparties entre les 2 mains.
Colonne « Probabilité » : C’est la probabilité totale correspondant à la répartition. En Gras : la plus probable.
Colonne « Combinaisons » : nombre de combinaisons possibles en fonction de la répartition.
Colonne « % » : Correspond à la probabilité de l’une des combinaisons. Par exemple, s’il manque 4 cartes et si elles sont 3-1 (3 en Ouest et 1 en Est) il y a 4 combinaisons possibles. Ce serait la même chose si Ouest avait 1 cartes et Est. Ce qui fait que si on se moque de qui à 3 cartes, on a au total 8 combinaisons à prendre en compte. La probabilité est donc de 8×6,22 soit 49,74%. En rouge ce qu’il serait bon de connaître.

Supposons qu’il y ait 4 cartes manquantes dont la Dame. Quelle est la probabilité que la Dame soit singleton en Est ?
On a une répartition 3-1. Il n’y a qu’un seule position possible. La probabilité est donc de 1×6,22 = 6 ,22%

Supposons qu’il y ait 4 cartes manquantes dont la Dame. Quelle est la probabilité qu’elle soit singleton ou doubleton en Ouest ? : Il y a 2 distributions qui nous concernent : soit 2-2 soit 1-3.
Dame singleton en Ouest : 6,22% (une seule combinaison).
Dame doubleton en Ouest (3 combinaisons : Dame accompagnée de chacune des 3 autres cartes) : 3×6,78=20,35%.
Au total la probabilité qu’on recherche est de 6,22 + 20,35 = 26,57%

On n’a pas vraiment besoin d’une précision décimale, on peut arrondir les pourcentages à l’unité la plus proche : 35,53% est arrondi à 36%, par exemple.

Accédez au fichier PDF « Tableau des probabilités a priori » en cliquant ici. Une fois ouvert vous pourrez l’imprimer et conserver ce tableau qui sera bien utile !

Exemple 1

Prenons un exemple concret : Dans votre main, en Sud, vous avez A R 10 9 4, et au mort il y a 7 2.

Il n’y a pas de problème pour communiquer entre les 2 mains.
Comment allez-vous jouer pour vous donner les meilleures chances pour faire 4 levées ?

Vous avez le choix entre 3 solutions :

  1. Jouer en tirant As et Roi en tête
  2. Jouer en jouant l’As suivi d’une impasse
  3. Jouer en faisant 2 fois l’impasse (sans tirer l’As ou le Roi avant)

Laquelle choisissez-vous ?

1 – On tire AR en tête

Si les cartes manquantes sont réparties 3-3 on gagne dans 35,53% des cas.
Si elles sont 4-2 on gagne si la DV sont secs en Ouest ou en Est, soit 2 combinaisons possibles : 2×1,61 = 3,22%
On gagne aussi si Dx ou Vx sont en Ouest ou en Est (autrement dit : si la Dame ou le Valet sont doubleton avec une petite carte), soit 4 combinaisons pour Dx et 4 combinaisons pour Vx, donc 8 combinaisons, cependant comme le doubleton peut être d’un côté ou de l’autre on a 16 combinaisons possibles soit 16×1,61 = 24,76%.

Au total si on tire As et Roi en tête on gagne dans : 35,53+3,22+24,76 = 64,51%

2 – On fait l’impasse après avoir joué l’As ou le Roi

On gagne si la répartition est 3-3 = 35,53%
Avec une distribution 4-2 on a 16 positions gagnantes sur les 30 possibles, soit 16×1,61 = 25,76% (6 positions perdantes avec DVxx en Ouest et 8 avec Vx ou Dx en Ouest)

Au total si on tire l’As (ou le Roi) suivi de l’impasse on gagne dans 35,53+25,76 = 61,29%.

3 – On fait la double impasse de suite

On gagne pour 16 combinaisons d’une répartition 3-3, et 23 combinaisons d’une répartition 4-2.
Soit au total 16×1,78 + 23×1,61 = 65,51%.

Conclusion pour cet exemple

Il vaut mieux faire la double impasse.

Exemple 2

On est en Sud. Dans une couleur il manque 6 cartes R D x x x

On aimerait savoir quelle est la probabilité que RD soit en Ouest.

Si la répartition est 3-3, c’est à dire que l’on a RDx en Ouest, RD peut être combiné avec chacune des 3 autres cartes. On a donc 3×1,78% (ligne 3 du tableau, répartition 3-3), soit 5,34%.
Si la répartition est 2-4, il n’y a qu’une seule combinaison possible (AR), soit 1×1,61 = 1,61%.
Si la répartition est 4-2 (ARxx) on a 3 combinaisons possibles, soit 3×1.61 = 4,83%

Au total la probabilité que RD soit en Ouest est de 5,34+1,61+4,93 = 11,88%.

Exemple 3

On est en Sud. Il manque 6 cartes : RDxxxx.

On voudrait connaître la probabilité de trouver le Roi ou la Dame en Ouest (mais pas RD ensemble).
Je ne vais pas compter la distribution 0-6 (0 en Ouest) qui aurait un impact inférieur à 1% (0,75%).

Si la répartition est 1-5 on a 2 possibilités (Le Roi ou la Dame) donc 2×1,21 = 2,42%
Si la répartition est 4-2 on peut avoir soit Rx soit Dx, donc 4 combinaisons pour le Roi et pareil pour la Dame, soit 8×1,61 = 12,88%
Si la répartition est 3-3 on peut avoir Rxx ou Dxx, donc 10 combinaisons possibles pour le Roi et pareil pour la Dame, soit 20×1,78 = 35,60% (en réalité 35,53)

Au total la probabilité d’avoir soit le Roi soit la Dame en Ouest est de : 2,42+12,88+35,60 = 50,90%

On peut tirer une règle de l’exemple 2

Si l’on compare les 2 situations ci-dessus, on peut tirer la règle suivante :

Sans autre information par ailleurs, quand il manque 2 honneurs dans une couleur répartie 4-2 il est plus probable a priori qu’il y ait un honneur dans chaque main plutôt que 2 honneurs dans la main de 4 cartes.. C’est à dire qu’il est plus probable d’avoir Rx en face de Dxxx ou Dx en face de Rxxx, que xx en face de RDxx.

Si la couleur est répartie 3-3 il est plus probable que les honneurs soient répartis entre les 2 mains que d’avoir les 2 honneurs dans la même main.

Conclusion

Je sais bien qu’on va me dire que c’est impossible à la table de faire tous ces calculs. C’est vrai, je vous l’accorde.

Cependant il y a des situations beaucoup plus fréquentes que d’autres, voire très fréquentes. Les exemples ci-dessus en sont une bonne illustration. Au moyen du tableau vous pouvez prendre des exemples que vous rencontrez à la table ou en tournoi pour en faire l’analyse et en tirer vos propres conclusions utilisables quand une situation similaire se reproduit.

Si vous voulez avoir la formule pour calculer les combinaisons possibles en fonction de la répartition des cartes, vous pouvez imprimer une page PDF. Pour l’ouvrir cliquez ici. La vidéo sur YouTube explique aussi bien la chose.

Retrouvez sur ma chaîne YouTube la vidéo complémentaire correspondant à cet article : Chaîne bridge74.

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